Formules arithmétiques et géométriques avec des exemples de questions et leur discussion

Cet article abordera les formules arithmétiques et géométriques ainsi que des exemples de questions et leur discussion.

L'arithmétique et la géométrie sont nos thèmesapprendre à l'école en mathématiques. Lorsque, lors des examens nationaux, des examens d'entrée au collège ou des examens de candidature, il y a souvent des questions sur les deux.

Non seulement cela, nous devons également être en mesure de distinguerentre des séquences et des lignes arithmétiques ou des séquences et des lignes géométriques, car les règles des séquences et des lignes peuvent nous aider à effectuer des calculs, tels que les intérêts bancaires, les augmentations de production et les profits / pertes pour une entreprise. D'accord, regardons l'explication suivante!

Formules arithmétiques

• Ligne arithmétique

Regardez le tableau ci-dessus, observez comment la différence de nombres de notre gauche à notre droite? Et puis, observez la différence de nombres de haut en bas?

D'après les observations, nous constatons que la différence d'une ligne est toujours fixe. Par exemple de notre rangée de droite à notre gauche: 1, 2, 3, 4, 5 (la différence est de 1).

5 - 1 = 4; 4 - 1 = 3; 3 - 1 = 2; 2 - 1 = 1

Et de haut en bas: 1, 6, 11, 16 (différence 5).

16 - 5 = 11; 11 - 5 = 6; 6 - 5 = 1

De telles lignes sont appelées séquences arithmétiques.

La différence qui a une valeur fixe est appelée différent et est symbolisé par b. En général, on peut dire que si U_n est la formule syllabiquen une séquence arithmétique, puis elle s'applique

b = U_n - U_n-1

Si le premier mandat (U.₁) symbolisé par un et la différence est symbolisée par b, puis le terme formulen la séquence peut être dérivée comme suit.

U₁= a

U₂= U₁ + b = a + b

U₃= U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄= U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅= U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Ainsi, les termes peuvent être formulés pourn des rangs arithmétiques est

U_n= a + (n - 1)b

Description:

U_n= tribu àn

a = première syllabe

b = différent

n = de nombreuses tribus

• Série arithmétique

Si les termes de séquence arithmétique sont additionnés, une séquence arithmétique sera obtenue. Par exemple U₁, U₂, U₃, ……., U_n sont des tribus de rangs arithmétiques, alors U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n appelé progression arithmétique. Série arithmétique de n écrit avec la notation S_n avec U_n= a + (n - 1)b.

Ainsi, la formule générale de la progression arithmétique est

S._n= 1/2 n (a + U_n)

S._n= 1/2 n (2a + (n - 1) b)

Description:

S._n= nombre de progressions arithmétiques

a = première syllabe

b = différent

U_n= tribu àn

n = de nombreuses tribus

Déterminez le termen séquence arithmétique si la formule numérique est connue n la première tribu. Tribu àn peut être déterminé par la formule suivante.

U_n = S_n - S._n-1

• Tribu moyenne de la ligne Arisan ou arithmétique

Si vous connaissez la séquence arithmétique suivante: U₁, U₂, U₃, ……., U_n, avec de nombreuses tribus arithmétiques en marcheest impair, donc il y a un terme au milieu de la ligne qui divise la ligne en 2 parties égales. Supposons que le milieu de la séquence soit U_t. Donc, trouver le moyen terme est le suivant.

Description:

U_t= la tribu moyenne des rangs arithmétiques

a = première syllabe

U_n= dernière tribu de rangs arithmétiques avec de nombreux n bizarre

• Insérer dans une ligne arithmétique

Par exemple U₁, U₂, U₃, ……., U_n, est une séquence arithmétique avec une syllabe initiale U_1. Si entre deux termes consécutifs insérés k des nombres tels que de nouvelles séquences arithmétiques sont formées, les différentes nouvelles séquences arithmétiques sont formées comme suit.

Description:

b ’= nouvelle différence après les insertions

b = différent avant les insertions

k = numéro inséré

Formules de géométrie

• Ligne de géométrie

Essayez d'observer les rangées 1, 2, 4, 8, 16, .... Voyez que le terme suivant est obtenu en multipliant 2 dans le terme précédent. Cette séquence comprend la séquence géométrique.

Donc, on peut conclure en général, séquence géométrique est une séquence de nombres de chaque tribu obtenue à partir du terme précédent multipliée par un nombre constant (constant). Ces nombres fixes sont appelés ratio (comparaison) et symbolisé par r.

Si U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n séquence géométrique avec U_n est la formule pourn, et ratio r, applicable:

Formule générale pour la tribun séquence géométrique avec premier terme (U₁) est déclaré un et ratio r, peut être dérivée comme suit.

U₁= a

U₂= U₁ x r = ar

U₃= U₂ x r = ar²

U₄= U₃ x r = ar³

::

U_n= U_n-1 x r = ar^n-2 x r = ar^n-1

Séquence géométrique ainsi obtenue a, ar, ar², ...., ar^n-1.

Ainsi, la formule générale de lan la séquence géométrique est

U_n= ar^n-1

Description:

U_n = tribu àn

a = première syllabe

r = rapport

n = de nombreuses tribus

• Série de géométrie

Si U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n est une rangée de géométrie alors U_{1 +} U_{2 +} U₃₊ U₄ + …… .. U_n est un série de géométrie avec U_n = ar^n-1.

Formule générale de détermination des montants n le premier terme de la séquence géométrique peut être dérivé comme suit.

Par exemple S._n notation des montants n première syllabe.

S._n = U_{1 +} U_{2 +} U₃ + …… .. U_n

S._n = un ₊ ar ₊ ar² + ... + ar^n-1…………………………………………………………………(1)

Si les deux segments sont multipliés r, alors

rS_n = ar ₊ ar² ₊ ar³ + ... + arⁿ………………………………………………………………(2)

À partir de la différence dans les équations (1) et (2), nous pouvons obtenir

Donc, la formule de somme n le premier terme de la séquence géométrique, qui est le suivant.

Description:

S._n = le montant n première syllabe

a = première syllabe

r = rapport

n = de nombreuses tribus

• Tribu centrale de la série Line ou Geometry

Par exemple, connaissez la séquence géométrique suivante: U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n (le nombre de termes est impair). Le terme moyen de la ligne est U_t, alors la formule est la suivante.

Description:

U_t= séquence géométrique à moyen terme

a = première syllabe

U_n= la dernière séquence géométrique terme avec nombre n bizarre

• Insérer dans la ligne de géométrie

Si dans la ligne de géométrie est insérée k les nombres de telle manière entre deux termes consécutifs, de sorte que de nouvelles lignes géométriques se forment. Ainsi, en trouvant le nouveau rapport peut être formulé comme suit.

Description:

r ’= nouveau rapport après insertion

r = rapport avant l'insertion

k = numéro inséré

• Série de géométrie illimitée

Une série de géométrie infinie est une série géométrique qui ne peut pas être découpée par beaucoup de ses tribus. Prenons l'exemple suivant!

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

b. 5 - 10 + 20 - 40 + ...

c. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

d. 9 - 3 + 1 - 1/3 + ...

La série ci-dessus est un exemple de série de géométrie infinie. Considérez les exemples a et b. La série est séries divergentes, c'est-à-dire une série qui ne va pas à une certaine valeur et a un rapport r avec | r | > 1.

Ensuite, les exemples c et d sont série convergente, c'est-à-dire une série qui va à une certaine valeur et a un rapport r avec | r | <1.

Dans les séries convergentes, le nombre de termes ne dépassera pas un certain prix, mais approchera d'un certain prix. Ce prix particulier est appelé nombre infini de termes qui est noté S_∞. Valeur S_∞ représente la valeur d'approche (limite) de tout le terme (S_n) avec n approchant de l'infini. Par conséquent, la formule de série infinie peut être dérivée de la série géométrique avec le premier terme a, et n → ∞.

Parce que la série converge (| r | <1), pour n → ∞, alors arⁿ→ 0 pour que

Ainsi, la formule du nombre de séries géométriques infinies est

C'est l'explication des formules arithmétiques et géométriques ainsi que des exemples de questions et leur discussion. J'espère que c'est utile!