נוסחאות חשבון וגיאומטריה עם דוגמאות לשאלות ודיונם

מאמר זה ידון בנוסחאות חשבון וגיאומטרי יחד עם דוגמאות לשאלות ודיונם.

אריתמטיקה וגיאומטריה הם הנושאים שלנוללמוד בבית הספר במתמטיקה. כאשר כאשר בחינות ארציות, בחינות כניסה לקולג 'או בחינות בהגשת מועמדות למשרות, לעתים קרובות יש שאלות על שתיהן.

לא רק זה, עלינו גם להיות מסוגלים להבחיןבין רצפים ושורות אריתמטיות או רצפים ושורות גיאומטריות, מכיוון שחוקי הרצפים והשורות יכולים להקל עלינו בהשלמת חישובים, כמו ריבית בנקאית, עליית ייצור ורווח / הפסד לעסק. בסדר, בואו נסתכל על ההסבר הבא!

נוסחאות אריתמטיות

• שורה אריתמטית

התבונן בטבלה שלמעלה, התבונן כיצד ההבדל במספרים משמאל לימיננו? ואז, שים לב להבדל במספרים מלמעלה למטה?

מהתצפיות אנו מגלים שההבדל מקו אחד תמיד קבוע. לדוגמא משורה ימנית משמאלנו: 1, 2, 3, 4, 5 (ההבדל הוא 1).

5 - 1 = 4; 4 - 1 = 3; 3 - 1 = 2; 2 - 1 = 1

ומלמעלה למטה: 1, 6, 11, 16 (הפרש 5).

16 - 5 = 11; 11 - 5 = 6; 6 - 5 = 1

שורות כמו זה נקראות רצפי חשבון.

נקרא הפרש שיש לו ערך קבוע שונה ומסומל על ידי ב. באופן כללי ניתן לומר שאם U_n הנוסחה ההברהn רצף אריתמטי, אז הוא חל

b = U_n - U_n-1

אם הקדנציה הראשונה (U.₁) מסומל על ידי א וההבדל מסומל על ידי בואז הנוסחהn ניתן לגזור את הרצף כדלקמן.

U₁= א

U₂= U₁ + b = א + ב

U₃= U₂ + b = (א + b) + b = a + 2b

U₄= U₃ + b = (א + 2b) + b = a + 3b

U₅= U₄ + b = (א + 3b) + b = a + 4b

אז, ניתן לנסח את התנאים לn מדרגות אריתמטיות הוא

U_n= a + (n - 1)ב

תיאור:

U_n= שבט לn

א = הברה ראשונה

b = שונה

n = שבטים רבים

• סדרת חשבון

אם יתווספו מונחי הרצף האריתמטי, תתקבל סדרה אריתמטית. למשל U₁, U₂, U₃, ……., U_n הם אז שבטים בדרגות חשבון U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n קרא התקדמות חשבון. סדרות חשבון א n כתוב עם סימון ה- S_n עם U_n= a + (n - 1)ב.

אז הנוסחה הכללית להתקדמות אריתמטית היא

ש._n= 1/2 n (a + U_n)

ש._n= 1/2 n (2a + (n - 1) b)

תיאור:

ש._n= מספר התקדמויות חשבון

א = הברה ראשונה

b = שונה

U_n= שבט לn

n = שבטים רבים

קבע את המונח לn רצף חשבון אם נוסחת המספרים ידועה n השבט הראשון. שבט לn ניתן לקבוע על ידי הנוסחה הבאה.

U_n = S_n - ש._n-1

• השבט האמצעי של קו אריאן או חשבון

אם אתה יודע את רצף החשבון הבא: U₁, U₂, U₃, ……., U_n, עם שבטים צועדים רביםזה מוזר, כך שיש מונח ממש באמצע הקו המחלק את הקו לשני חלקים שווים. נניח שהמונח האמצעי של הרצף הוא U_t. אז למצוא את המונח האמצעי הוא כדלקמן.

תיאור:

U_t= השבט האמצעי של דרגות חשבון

א = הברה ראשונה

U_n= השבט האחרון של דרגות חשבון עם רבים n מוזר

• הכנס בשורה אריתמטית

למשל U₁, U₂, U₃, ……., U_n, הוא רצף אריתמטי עם הברה ראשונית U_1. אם בין שני מונחים רצופים מוכנסים k מספרים כך שנוצרים רצפי חשבון חדשים, רצפי האריתמטיקה החדשים נוצרים באופן הבא.

תיאור:

b '= הבדל חדש לאחר הכנסות

b = שונה לפני הכנסות

k = מספר מוכנס

נוסחאות גיאומטריה

• קו הגיאומטריה

נסה להתבונן בשורות 1, 2, 4, 8, 16, .... ראה כי המונח הבא מתקבל על ידי הכפלת 2 במונח הקודם. רצף זה כולל את הרצף הגיאומטרי.

אז ניתן להסיק באופן כללי, רצף גיאומטרי הוא רצף של מספרים שכל שבט מתקבל מהמונח הקודם כפול מספר קבוע (קבוע). למספרים הקבועים האלה קוראים יחס (השוואה) ומסומל על ידי r.

אם U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n רצף גיאומטרי עם U_n היא הנוסחה לn, ויחס r, ישים:

נוסחה כללית לשבטn רצף גיאומטרי עם המונח הראשון (U₁) מוכרז א ויחס r, ניתן לגזור כדלקמן.

U₁= א

U₂= U₁ x r = ar

U₃= U₂ x r = ar²

U₄= U₃ x r = ar³

::

U_n= U_n-1 x r = ar^n-2 x r = ar^n-1

כך השיג רצף גיאומטרי a, ar, ar², ...., ar^n-1.

אז הנוסחה הכללית שלn רצף גיאומטרי הוא

U_n= ar^n-1

תיאור:

U_n = שבט לn

א = הברה ראשונה

r = יחס

n = שבטים רבים

• סדרת הגיאומטריה

אם U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n היא שורת גיאומטריה אז U_{1 +} U_{2 +} U₃₊ U₄ + …… .. U_n הוא א סדרת הגיאומטריה עם U_n = ar^n-1.

נוסחה כללית לקביעת סכומים n ניתן לגזור את המונח הראשון ברצף הגיאומטרי כדלקמן.

למשל ש._n סימון סכומים n הברה ראשונה.

ש._n = U_{1 +} U_{2 +} U₃ + …… .. U_n

ש._n = א ₊ ar ₊ ar² + ... + ar^n-1…………………………………………………………………(1)

אם כפול שני המקטעים r, אז

rS_n = ar ₊ ar² ₊ ar³ + ... + arⁿ………………………………………………………………(2)

מההבדל במשוואות (1) ו- (2) אנו יכולים לקבל

אז הנוסחה של הסכום n המונח הראשון ברצף הגיאומטרי, שהוא כדלקמן.

תיאור:

ש._n = הסכום n הברה ראשונה

א = הברה ראשונה

r = יחס

n = שבטים רבים

• השבט המרכזי של סדרת הקו או הגיאומטריה

לדוגמה, דע את הרצף הגיאומטרי הבא: U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n (מספר המונחים מוזר). המונח האמצעי של הקו הוא U_t, ואז הנוסחה היא כדלקמן.

תיאור:

U_t= רצף גיאומטרי אמצע אמצעי

א = הברה ראשונה

U_n= הרצף הגיאומטרי האחרון עם המספר n מוזר

• הכנס בשורה הגיאומטרית

אם בשורה הגיאומטרית מוכנס k מספרים בצורה כזו בין שני מונחים רצופים, כך שנוצרים קווים גיאומטריים חדשים. אז במציאת היחס החדש ניתן לנסח כדלקמן.

תיאור:

r '= יחס חדש לאחר הכניסה

r = יחס לפני הכניסה

k = מספר מוכנס

• סדרת גיאומטריה ללא הגבלה

סדרת גאומטריה אינסופית היא סדרה גיאומטרית שלא ניתן לחתוך אותה על ידי רבים מהשבטים שלה. קחו למשל את הדוגמא הבאה!

א. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

ב. 5 - 10 + 20 - 40 + ...

ג. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

ד. 9 - 3 + 1 - 1/3 + ...

הסדרה שלמעלה היא דוגמא לסדרת גיאומטריה אינסופית. שקול את הדוגמאות a ו- b. הסדרה היא סדרות שונות כלומר סדרה שלא עוברת לערך מסוים ויש לה יחס r עם | r | > 1.

בשלב הבא, דוגמאות c ו- d הן סדרה מתכנסת, כלומר סדרה שהולכת לערך מסוים ויש לה יחס r עם | r | <1.

בסדרות מתכנסות, מספר המונחים לא יעלה על מחיר מסוים, אלא יתקרב למחיר מסוים. מחיר ספציפי זה נקרא מספר אינסופי של מונחים שמסומן על ידי S_∞. ערך S_∞ מייצג את ערך הגישה (גבול) של כל המונח (S_n) עם n אינסוף מתקרב. לכן ניתן לגזור את הנוסחה הסופית האינסופית מהסדרה הגיאומטרית עם המונח הראשון א, ו n → ∞.

מכיוון שהסדרה מתכנסת (| r | <1), עבור n → ∞, אז arⁿ→ 0 כך ש

אז הנוסחה למספר הסדרות הגיאומטריות האינסופיות היא

זה ההסבר לנוסחאות חשבון וגיאומטריה יחד עם דוגמאות לשאלות והדיון בהן. יכול להיות שימושי!