Aritmetikos ir geometrijos formulės su klausimų pavyzdžiais ir jų aptarimas

Šiame straipsnyje bus aptariamos aritmetinės ir geometrinės formulės, pateikiami klausimų pavyzdžiai ir jų aptarimas.

Aritmetika ir geometrija yra mūsų temosmokytis mokykloje matematikos. Kai vyksta valstybiniai egzaminai, stojamieji egzaminai ar egzaminai, kai kreipiamasi dėl darbo, dažnai kyla klausimų apie abu.

Ne tik tai, mes taip pat turime mokėti atskirtitarp aritmetinių sekų ir eilučių arba geometrinių sekų ir eilučių, nes sekų ir eilučių taisyklės gali mums padėti atlikti skaičiavimus, tokius kaip banko palūkanos, gamybos padidėjimas ir verslo pelnas / nuostoliai. Gerai, pažiūrėkime į šį paaiškinimą!

Aritmetinės formulės

• Aritmetinė eilutė

Pažvelkite į aukščiau pateiktą lentelę, stebėkite, kaip skiriasi skaičius iš kairės į dešinę? Ir tada stebėkite skaičių skirtumą nuo viršaus iki apačios?

Iš stebėjimų pastebime, kad skirtumas tarp vienos eilutės visada yra fiksuotas. Pavyzdžiui, iš dešinės eilės į kairę: 1, 2, 3, 4, 5 (skirtumas yra 1).

5 - 1 = 4; 4 - 1 = 3; 3 - 1 = 2; 2 - 1 = 1

Ir iš viršaus į apačią: 1, 6, 11, 16 (skirtumas 5).

16 - 5 = 11; 11 - 5 = 6; 6 - 5 = 1

Tokios eilutės vadinamos aritmetinėmis sekomis.

Skirtumas, turintis fiksuotą vertę, vadinamas skirtingi ir yra simbolizuojamas b. Apskritai galima sakyti, kad jei U_n yra skiemens formulėn aritmetinė seka, tada ji taikoma

b = U_n - U_n-1

Jei pirmoji kadencija (U.₁) simbolizuojamas a o skirtumą simbolizuoja b, tada termino formulėn seka gali būti išvedama taip.

U₁= a

U₂= U₁ + b = a + b

U₃= U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄= U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅= U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Taigi, terminai gali būti suformuluotin aritmetinių gretų yra

U_n= a + (n - 1)b

Aprašymas:

U_n= gentis įn

a = pirmasis skiemuo

b = skirtingi

n = daugybė genčių

• Aritmetikos serija

Jei sudėti aritmetiniai sekos terminai, gaunama aritmetinė seka. Pavyzdžiui U₁, U₂, U₃, ……., U_n yra aritmetinių gretų gentys, tada U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n paskambino aritmetinė progresija. Aritmetinė serija iš n parašyta su S notacija_n su U_n= a + (n - 1)b.

Taigi, bendra aritmetinio progresijos formulė yra

S._n= 1/2 n (a + U_n)

S._n= 1/2 n (2a + (n - 1) b)

Aprašymas:

S._n= aritmetinių progresijų skaičius

a = pirmasis skiemuo

b = skirtingi

U_n= gentis įn

n = daugybė genčių

Nustatykite terminą ikin aritmetinė seka, jei skaičiaus formulė yra žinoma n pirmoji gentis. Gentis įn gali būti nustatomas pagal šią formulę.

U_n = S_n - S._n-1

• Vidurinė Arisano linijos arba aritmetikos gentis

Jei žinote šią aritmetinę seką: U₁, U₂, U₃, ……., U_n, su daugybe aritmetinių žygiuojančių genčiųyra nelyginis, taigi tiesiai viduryje yra terminas, padalijantis liniją į 2 lygias dalis. Tarkime, kad vidutinis sekos terminas yra U_t. Taigi rasti tarpinį terminą yra taip.

Aprašymas:

U_t= vidurinė aritmetikos rango gentis

a = pirmasis skiemuo

U_n= paskutiniosios aritmetikos genties rangų su daugeliu n keista

• Įdėkite į aritmetinę eilutę

Pavyzdžiui U₁, U₂, U₃, ……., U_n, yra aritmetinė seka su pradiniu skiemeniu U_1. Jei įterpiami du terminai iš eilės k skaičiai tokie, kad susidaro naujos aritmetinės sekos, skirtingos naujos aritmetinės sekos formuojamos taip.

Aprašymas:

b ’= naujas skirtumas po intarpų

b = skiriasi prieš įterpimą

k = įterptas skaičius

Geometrijos formulės

• Geometrijos linija

Pabandykite laikytis 1, 2, 4, 8, 16 eilutės. Žiūrėkite, kad kitas terminas būtų gaunamas padauginus iš ankstesniojo 2. Ši seka apima geometrinę seką.

Taigi, galima daryti išvadą apskritai, geometrinė seka yra kiekvienos genties skaičių seka, gauta iš ankstesnio termino, padauginta iš pastovaus skaičiaus (konstanta). Šie fiksuoti numeriai yra vadinami santykis (palyginimas) ir simbolizuoja r.

Jei U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n geometrinė seka su U_n yra formulėn, ir santykis r, taikoma:

Bendra genties formulėn geometrinė seka su pirmąja kadencija (U₁) yra deklaruojama a ir santykis r, gali būti išvedama taip.

U₁= a

U₂= U₁ x r = ar

U₃= U₂ x r = ar²

U₄= U₃ x r = ar³

::

U_n= U_n-1 x r = ar^n-2 x r = ar^n-1

Tokiu būdu gauta geometrinė seka a, ar, ar², ...., ar^n-1.

Taigi, bendra formulėn geometrinė seka yra

U_n= ar^n-1

Aprašymas:

U_n = gentis įn

a = pirmasis skiemuo

r = santykis

n = daugybė genčių

• Geometrijos serija

Jei U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n yra geometrijos eilutė tada U_{1 +} U_{2 +} U₃₊ U₄ + …… .. U_n yra a geometrijos serija su U_n = ar^n-1.

Bendra sumų nustatymo formulė n pirmasis geometrinės sekos terminas gali būti išvestas taip.

Pavyzdžiui S._n sumų žymėjimas n pirmasis skiemuo.

S._n = U_{1 +} U_{2 +} U₃ + …… .. U_n

S._n = a ₊ ar ₊ ar² + ... .. + ar^n-1…………………………………………………………………(1)

Jei abu segmentai padauginami r, tada

rS_n = ar ₊ ar² ₊ ar³ + ... .. + arⁿ………………………………………………………………(2)

Iš lygčių (1) ir (2) skirtumų galime gauti

Taigi, sumos formulė n pirmasis geometrinės sekos terminas, kuris yra toks.

Aprašymas:

S._n = suma n pirmasis skiemuo

a = pirmasis skiemuo

r = santykis

n = daugybė genčių

• Centrinė linijos arba geometrijos serijos gentis

Pvz., Žinokite šią geometrijos eilutę: U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n (žodžių skaičius nelyginis). Vidurinis linijos terminas yra U_t, tada formulė yra tokia.

Aprašymas:

U_t= vidutinės trukmės geometrinė seka

a = pirmasis skiemuo

U_n= paskutinio termino geometrinė seka su skaičiumi n keista

• Įterpti į geometrijos eilutę

Jei į geometrijos eilutę įterpiama k skaičiai tokiu būdu tarp dviejų iš eilės einančių žodžių, kad susidarytų naujos geometrinės linijos. Taigi ieškant naujo santykio galima suformuluoti taip.

Aprašymas:

r ’= naujas santykis po įdėjimo

r = santykis prieš įterpimą

k = įterptas skaičius

• Neribota geometrijos serija

Begalinė geometrijos seka yra geometrinė seka, kurios negali suskaidyti daugelis jos genčių. Apsvarstykite šį pavyzdį!

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

b. 5–10 + 20–40 + ...

c. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

d. 9 - 3 + 1 - 1/3 + ...

Aukščiau pateiktos serijos yra begalinės geometrijos sekos pavyzdys. Apsvarstykite a ir b pavyzdžius. Serija yra skirtingos serijos, y., serija, kuri neatitinka tam tikros vertės ir turi santykį r su | r | > 1.

Toliau pateikiami c ir d pavyzdžiai konvergencijos serijos, y., serija, einanti į tam tikrą vertę ir turinti santykį r su | r | <1.

Susiliejančiose serijose terminų skaičius neviršys tam tikros kainos, bet artės prie tam tikros kainos. Ši konkreti kaina vadinama begalinis terminų skaičius kurį žymi S_∞. S reikšmė_∞ žymi viso termino artėjimo vertę (ribą) (S_n) su n artėjant prie begalybės. Todėl begalinės serijos formulę galima išvesti iš geometrinės eilutės su pirmuoju terminu a, ir n → ∞.

Nes serija suartėja (| r | <1), skirtas n → ∞, tada arⁿ→ 0 kad taip

Taigi begalinių geometrinių eilučių skaičiaus formulė yra

Tai yra aritmetinių ir geometrinių formulių paaiškinimas, klausimų pavyzdžiai ir jų aptarimas. Gali būti naudinga!