質問とその考察の例を含む算術および幾何学の公式

この記事では、算術式と幾何学式、および質問の例とその説明について説明します。

算数と幾何学が私たちのトピックです数学の学校で学びます。国家試験、大学入試、または就職に向けた試験の際に、しばしば両方についての質問があります。

それだけでなく、私たちも区別する必要があります算術シーケンスと行の間、または幾何シーケンスと行の間。シーケンスと行のルールは、銀行の利息、生産の増加、ビジネスの利益/損失などの計算を完了するのに役立ちます。よし、次の説明を見てみよう！

算術式

算術行

上の表を見て、左から右への数値の違いを確認してください。そして、上から下への数字の違いを観察しますか？

観察から、1つのラインとの差は常に固定されていることがわかります。たとえば、右の行から左へ：1、2、3、4、5（違いは1）。

5-1 = 4; 4-1 = 3; 3-1 = 2; 2-1 = 1

そして上から下へ：1、6、11、16（違い5）。

16-5 = 11; 11-5 = 6; 6-5 = 1

このような行は、算術シーケンスと呼ばれます。

固定値を持つ差分が呼び出されます違うと象徴されています b。一般に、 U_ん 音節の公式ですん算術シーケンス、それが適用されます

b = U_ん - U_n-1

最初の用語なら （U.₁） によって象徴される a そしてその違いは b、次に式んシーケンスは次のように導出できます。

U₁= a

U₂= U₁ + b = a + b

U₃= U₂ + b =（a + b）+ b = a + 2b

U₄= U₃ + b =（a + 2b）+ b = a + 3b

U₅= U₄ + b =（a + 3b）+ b = a + 4b

したがって、用語は次のように定式化できます。ん算術ランクの

U_ん= a +（n-1）b

説明：

U_ん= 部族へん

a = 最初の音節

b = 違う

n = 多くの部族

算数シリーズ

算術シーケンスの項を合計すると、算術級数が得られます。たとえば U₁、U₂、U₃、…………、U_ん算術ランクの部族である場合、 U₁+ U₂+ U₃+ .... + U_ん呼ばれる 算術の進行。 からの算術級数ん S表記で書かれた_んと U_ん= a +（n-1）b。

したがって、算術進行の一般的な式は

S_ん= 1/2 n（a + U_ん）

S_ん= 1/2 n（2a +（n-1）b）

説明：

S_ん= 算数の進行の数

a = 最初の音節

b = 違う

U_ん= 部族へん

n = 多くの部族

用語を決定するん数式が既知の場合の算術シーケンスん最初の部族。部族にん次の式で求められます。

U_ん = S_ん - S_n-1

アリサンの中部族または算数

次の算術シーケンスがわかっている場合： U₁、U₂、U₃、…………、U_n、多くの算術行進部族は奇数なので、線の真ん中に、線を2つの等しい部分に分割する項があります。シーケンスの中期が U_t。したがって、中期用語を見つけることは次のとおりです。

説明：

U_t= 算術ランクの中部族

a = 最初の音節

U_ん= 多くの算術ランクの最後の部族ん奇数

算術行に挿入

たとえば U₁、U₂、U₃、…………、U_n、最初の音節を持つ算術シーケンスです U_1. 2つの連続する用語の間に挿入された場合 k 新しい算術シーケンスが形成されるような数、異なる新しい算術シーケンスは次のように形成されます。

説明：

b ’= 挿入後の新しい違い

b = 挿入前は異なる

k = 挿入された番号

ジオメトリ式

ジオメトリライン

行1、2、4、8、16、...を観察してみてください。次の項は、前の項の2を掛けることによって得られることを確認してください。このシーケンスには、幾何学的シーケンスが含まれます。

だから、一般的に結論づけることができます、 幾何学的シーケンス 前の項から得られた各部族に定数（定数）を掛けた数のシーケンスです。これらの固定数は 比率（比較） とによって象徴 r。

もし U₁、U₂、U₃、U₄.......、U_んジオメトリックシーケンス U_ん 数式ですn、と比率 r、該当：

部族の一般式ん最初の項を持つ幾何学的シーケンス（U₁）宣言されている a と比率 r、次のように導出できます。

U₁= a

U₂= U₁ x r = ar

U₃= U₂ x r =ar²

U₄= U₃ x r = ar³

U_ん= U_n-1 x r = ar^n-2 x r = ar^n-1

このようにして得られた幾何学的シーケンス a、ar、ar²、....、ar^n-1.

したがって、一般的な式ん幾何学的シーケンスは

U_ん= ar^n-1

説明：

U_ん= 部族へん

a = 最初の音節

r = 比率

n = 多くの部族

ジオメトリシリーズ

もし U₁、U₂、U₃、U₄.......、U_ん次に、ジオメトリの行です U_{1 +} U_{2 +} U₃₊U₄+…….. U_んは ジオメトリシリーズ と U_ん= ar^n-1.

金額を決定するための一般式ん幾何学的シーケンスの最初の項は、次のように導出できます。

たとえば S_ん 金額表記ん最初の音節。

S_ん= U_{1 +} U_{2 +} U₃+…….. U_ん

S_ん= a₊ ar₊ ar²+ ... .. + ar^n-1…………………………………………………………………（1）

両方のセグメントが乗算されている場合 r、その後

rS_ん= ar₊ ar²₊ ar³+ ... .. + ar^ん………………………………………………………………（2）

式（1）と（2）の違いから、

したがって、合計式ん幾何学的シーケンスの最初の項。次のとおりです。

説明：

S_ん= 金額ん最初の音節

a = 最初の音節

r = 比率

n = 多くの部族

ラインまたはジオメトリシリーズの中心部族

たとえば、次のジオメトリ行を知っています。 U₁、U₂、U₃、U₄.......、U_ん（項の数は奇数です）。行の中期は U_t、すると、式は次のようになります。

説明：

U_t= 中期幾何シーケンス

a = 最初の音節

U_ん= 番号付きの最後の項の幾何学的シーケンスん奇数

ジオメトリ行に挿入

ジオメトリ行に挿入されている場合 k 新しい数学的線が形成されるように、2つの連続する項の間でそのような方法で番号を付けます。したがって、新しい比率を見つけるには、次のように定式化できます。

説明：

r ’= 挿入後の新しい比率

r = 挿入前の比率

k = 挿入された番号

無制限のジオメトリシリーズ

無限のジオメトリシリーズは、その部族の多くが切り刻むことができないジオメトリックシリーズです。次の例を考えてみましょう！

a。 1 + 2 + 4 + 8 + ...

b。 5-10 + 20-40 + ...

c。 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

d。 9-3 + 1-1/3 + ...

上記のシリーズは、無限のジオメトリシリーズの例です。例aとbを考えます。シリーズは 発散シリーズ、 つまり、特定の値に到達せず、比率を持つシリーズ r と| r | > 1。

次に、例cとdは 収束シリーズ、 つまり、特定の値になり、比率を持つシリーズ r と| r | <1。

収束シリーズでは、項の数は特定の価格を超えませんが、特定の価格に近づきます。この特定の価格は 無限の項 これはSで表されます_∞。 S値_∞ 項全体のアプローチ値（限界）を表します（S_ん）とん無限に近づいています。したがって、無限級数公式は、最初の項を持つ幾何級数から導出できます。 a、と n→∞。