Aritmetické a geometrické vzorce s príkladmi otázok a ich diskusia

Tento článok bude diskutovať o aritmetických a geometrických vzorcoch spolu s príkladmi otázok a ich diskusiou.

Aritmetika a geometria sú naše témyučiť sa v škole matematiky. Tam, kde pri národných skúškach, prijímacích skúškach alebo skúškach pri uchádzaní sa o prácu často existujú otázky týkajúce sa oboch.

Nielen to musíme vedieť rozlíšiťmedzi aritmetickými sekvenciami a riadkami alebo geometrickými sekvenciami a riadkami, pretože pravidlá sekvencií a riadkov nám môžu uľahčiť vykonávanie výpočtov, ako sú bankové úroky, zvýšenie výroby a zisk / strata pre firmu. Dobre, pozrime sa na nasledujúce vysvetlenie!

Aritmetické vzorce

• Aritmetický riadok

Pozrite sa na tabuľku vyššie a sledujte, aký je rozdiel v počtoch zľava doprava? A potom pozorujte rozdiel v počtoch zhora nadol?

Z pozorovaní zistíme, že rozdiel od jedného riadku je vždy pevný. Napríklad z nášho pravého riadku naľavo: 1, 2, 3, 4, 5 (rozdiel je 1).

5 - 1 = 4; 4 - 1 = 3; 3 - 1 = 2; 2 - 1 = 1

A zhora nadol: 1, 6, 11, 16 (rozdiel 5).

16 - 5 = 11; 11 - 5 = 6; 6 - 5 = 1

Takéto riadky sa nazývajú aritmetické postupnosti.

Vyvolá sa rozdiel, ktorý má pevnú hodnotu rozdiel a je symbolizovaný symbolom b. Všeobecne možno povedať, že ak U_n je slabika vzorcan aritmetická postupnosť, potom platí

b = U_n - U_n-1

Ak je prvý termín (U₁) symbolizovaný symbolom na a rozdiel je symbolizovaný b, potom výraz vzorecn sekvencia môže byť odvodená nasledovne.

U₁= a

U₂= U₁ + b = a + b

U₃= U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄= U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅= U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Podmienky teda možno formulovaťn aritmetických radov je

U_n= a + (n - 1)b

Poznámky:

U_n= kmeňn

a = prvá slabika

b = rozdiel

n = veľa kmeňov

• Aritmetické série

Ak sa aritmetické poradové členy spočítajú, získa sa aritmetická postupnosť. Napríklad U₁, U₂, U₃, ……., U_n sú teda kmene aritmetických radov U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n volal aritmetická progresia. Aritmetické série z n napísané s notáciou_n s U_n= a + (n - 1)b.

Všeobecný vzorec pre aritmetickú progresiu je

S_n= 1/2 n (a + U_n)

S_n= 1/2 n (2a + (n - 1) b)

Poznámky:

S_n= počet aritmetických progresov

a = prvá slabika

b = rozdiel

U_n= kmeňn

n = veľa kmeňov

Určte výraz don aritmetická postupnosť, ak je známy číselný vzorec n prvý kmeň. Kmeňn je možné určiť podľa nasledujúceho vzorca.

U_n = S_n - S_n-1

• Línia stredného kmeňa Arisan alebo aritmetika

Ak poznáte nasledujúcu aritmetickú postupnosť: U₁, U₂, U₃, ……., U_n, s mnohými aritmetickými pochodovými kmeňmije nepárne, takže v strede riadku je výraz, ktorý delí čiaru na dve rovnaké časti. Predpokladajme, že stredná časť sekvencie je U_T, Takže nájsť strednodobý termín je nasledujúci.

Poznámky:

U_T= prostredný kmeň aritmetických radov

a = prvá slabika

U_n= posledný kmeň aritmetických radov s mnohými n nepárny

• Vložiť do aritmetického riadku

Napríklad U₁, U₂, U₃, ……., U_n, je aritmetická sekvencia s počiatočnou slabikou U_1. Ak je medzi dvoma po sebe idúcimi výrazmi vložené k čísla, aby sa vytvorili nové aritmetické sekvencie, sa rôzne nové aritmetické sekvencie vytvoria nasledujúcim spôsobom.

Poznámky:

b ' nový rozdiel po vložení

b = iné pred vložením

k = vložené číslo

Geometrické vzorce

• Geometrická čiara

Pokúste sa dodržať riadky 1, 2, 4, 8, 16, .... Uvidíte, že nasledujúci člen sa získa vynásobením 2 v predchádzajúcom období. Táto sekvencia obsahuje geometrickú sekvenciu.

Takže je možné dospieť k záveru všeobecne, geometrická postupnosť je postupnosť čísiel každého kmeňa získaného z predchádzajúceho členu vynásobená konštantným číslom (konštantou). Tieto pevné čísla sa volajú pomer (porovnanie) a symbolizuje ho r.

ak U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n geometrická postupnosť s U_n je vzorecn, a pomer r, platí:

Všeobecný vzorec pre kmeňn geometrická postupnosť s prvým termínom (U₁) na a pomer r, možno odvodiť nasledovne.

U₁= a

U₂= U₁ x r = ar

U₃= U₂ x r = ar²

U₄= U₃ x r = ar³

::

U_n= U_n-1 x r = ar^n-2 x r = ar^n-1

Takto sa získa geometrická postupnosť a, ar, ar², ...., ar^n-1.

Všeobecný vzorec pren geometrická postupnosť je

U_n= ar^n-1

Poznámky:

U_n = kmeňn

a = prvá slabika

r = pomer

n = veľa kmeňov

• Geometrická séria

ak U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n je potom rad geometrie U_{1 +} U_{2 +} U_{3 +} U₄ + …… .. U_n je a geometria série s U_n = ar^n-1.

Všeobecný vzorec na určovanie súm n prvý člen geometrickej sekvencie sa dá odvodiť nasledujúcim spôsobom.

Napríklad S_n zápis súm n prvá slabika.

S_n = U_{1 +} U_{2 +} U₃ + …… .. U_n

S_n = na ₊ ar ₊ ar² + ... + ar^n-1...........................................................................(1)

Ak sú oba segmenty vynásobené r, potom

rS_n = ar ₊ ar² ₊ ar³ + ... + arⁿ........................................................................(2)

Z rozdielu v rovniciach (1) a (2) môžeme získať

Takže vzorec súčtu n prvý člen geometrickej postupnosti, ktorý je nasledujúci.

Poznámky:

S_n = suma n prvá slabika

a = prvá slabika

r = pomer

n = veľa kmeňov

• Centrálny kmeň línie alebo línie geometrie

Napríklad poznať nasledujúcu geometriu: U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n (počet výrazov je nepárny). Stredný čas vedenia je U_t, potom je vzorec nasledujúci.

Poznámky:

U_T= strednodobý geometrický sled

a = prvá slabika

U_n= posledný termín geometrická postupnosť s číslom n nepárny

• Vložiť do riadku geometrie

Ak je v geometrii vložený riadok k čísla takým spôsobom medzi dvoma po sebe nasledujúcimi výrazmi, aby sa vytvorili nové geometrické čiary. Takže pri hľadaní nového pomeru možno formulovať nasledovne.

Poznámky:

r ' nový pomer po vložení

r = pomer pred vložením

k = vložené číslo

• Neobmedzená séria geometrie

Nekonečná geometrická séria je geometrická séria, ktorú veľa kmeňov nedá nasekať. Zoberme si nasledujúci príklad!

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

b. 5 - 10 + 20 - 40 + ...

c. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

d. 9 - 3 + 1 - 1/3 + ...

Vyššie uvedená séria je príkladom nekonečnej geometrickej série. Zvážte príklady a a b. Séria je divergentná séria, t. j. séria, ktorá neprechádza na určitú hodnotu a má pomer r s | r | > 1.

Ďalej príklady c a d sú konvergentná séria, t. j. séria, ktorá ide na určitú hodnotu a má pomer r s | r | <1.

V konvergujúcich radoch počet termínov nepresiahne určitú cenu, ale priblíži sa k určitej cene. Táto konkrétna cena sa nazýva nekonečný počet výrazov ktoré označuje S_∞. S hodnota_∞ predstavuje približnú hodnotu (limit) celého termínu (S_n) pomocou n blížiace sa nekonečno. Preto vzorec nekonečnej série môže byť odvodený z geometrickej série s prvým členom a, a n → ∞.

Pretože séria sa zbližuje (| r | <1), pre n → ∞, potom arⁿ→ 0 tak to

Takže vzorec pre počet nekonečných geometrických radov je

Toto je vysvetlenie aritmetických a geometrických vzorcov spolu s príkladmi otázok a ich diskusiou. Môže byť užitočné!