Aritmetiske og geometriformler med eksempler på spørgsmål og deres diskussion

Denne artikel vil diskutere de aritmetiske og geometriske formler sammen med eksempler på spørgsmål og deres diskussion.

Aritmetik og geometri er vores emnerlære i skolen i matematik. Hvor der når der er nationale eksamener, universitetseksamener eller prøver til at ansøge om job, der ofte er spørgsmål om begge.

Ikke kun det, vi må også være i stand til at skelnemellem aritmetiske sekvenser og rækker eller geometriske sekvenser og rækker, fordi reglerne for sekvenser og rækker kan gøre det lettere for os at gennemføre beregninger, såsom bankrenter, produktionsstigninger og fortjeneste / tab for en virksomhed. Okay, lad os se på følgende forklaring!

Aritmetiske formler

• Aritmetisk række

Se på tabellen ovenfor, se hvordan forskellen i tal fra venstre til højre? Og så, observer forskellen i tal fra top til bund?

Fra observationer finder vi, at forskellen fra en linje altid er fast. For eksempel fra vores højre række til venstre: 1, 2, 3, 4, 5 (forskellen er 1).

5 - 1 = 4; 4 - 1 = 3; 3 - 1 = 2; 2 - 1 = 1

Og fra top til bund: 1, 6, 11, 16 (forskel 5).

16 - 5 = 11; 11 - 5 = 6; 6 - 5 = 1

Rækker som dette kaldes aritmetiske sekvenser.

Forskel, der har en fast værdi kaldes forskel og symboliseres af b. Generelt kan det siges, at hvis U_n er stavelsesformlenn en aritmetisk sekvens, så gælder den

b = U_n - U_n-1

Hvis den første periode (U₁) symboliseret af en og forskellen symboliseres af b, derefter udtrykket formeln sekvensen kan afledes som følger.

U₁= a

U₂= U₁ + b = a + b

U₃= U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄= U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅= U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Så betingelserne kan formuleres tiln af aritmetiske rækker er

U_n= a + (n - 1)b

Bemærkninger:

U_n= stamme tiln

a = første stavelse

b = forskel

n = mange stammer

• Aritmetisk serie

Hvis de aritmetiske sekvensudtryk tilføjes sammen, opnås en aritmetisk sekvens. For eksempel U₁, U₂, U₃, ……., U_n er stammer af aritmetiske rækker U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n kaldet aritmetisk progression. Aritmetisk serie fra n skrevet med S-notationen_n med U_n= a + (n - 1)b.

Så den generelle formel for aritmetisk progression er

S_n= 1/2 n (a + U_n)

S_n= 1/2 n (2a + (n - 1) b)

Bemærkninger:

S_n= antal aritmetiske fremskridt

a = første stavelse

b = forskel

U_n= stamme tiln

n = mange stammer

Bestem udtrykket tiln aritmetisk rækkefølge, hvis talformlen er kendt n den første stamme. Stamme tiln kan bestemmes ved følgende formel.

U_n = S_n - S_n-1

• Mellemstamme af arisansk linje eller aritmetik

Hvis du kender følgende aritmetiske rækkefølge: U₁, U₂, U₃, ……., U_n, med mange aritmetiske marcherende stammerer underligt, så der er et udtryk lige i midten af ​​linjen, der deler linjen i 2 lige store dele. Antag, at den midterste sigt i sekvensen er U_t, Så at finde den midterste sigt er som følger.

Bemærkninger:

U_t= den midterste stamme af aritmetiske rækker

a = første stavelse

U_n= sidste stamme af aritmetiske rækker med mange n ulige

• Indsæt i aritmetisk række

For eksempel U₁, U₂, U₃, ……., U_n, er en aritmetisk sekvens med en indledende stavelse U_1. Hvis der indsættes mellem to på hinanden følgende ord k tal, således at nye aritmetiske sekvenser dannes, de forskellige nye aritmetiske sekvenser dannes som følger.

Bemærkninger:

b '= ny forskel efter indsættelser

b = forskellig inden indsættelser

k = indsat nummer

Geometri-formler

• Geometri Line

Forsøg at observere rækkerne 1, 2, 4, 8, 16, .... Se, at det næste udtryk opnås ved at multiplicere 2 i det forrige sigt. Denne sekvens inkluderer den geometriske sekvens.

Så det kan konkluderes generelt, geometrisk rækkefølge er en sekvens af tal hver stamme opnået fra det foregående udtryk ganget med et konstant tal (konstant). Disse faste numre kaldes forhold (sammenligning) og symboliseret af r.

hvis U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n geometrisk sekvens med U_n er formlen tiln, og forhold r, anvendelse:

Generel formel for stammenn geometrisk sekvens med første termin (U₁) er erklæret en og forhold r, kan afledes som følger.

U₁= a

U₂= U₁ x r = ar

U₃= U₂ x r = ar²

U₄= U₃ x r = ar³

::

U_n= U_n-1 x r = ar^n-2 x r = ar^n-1

Dermed opnået geometrisk sekvens a, ar, ar², ...., ar^n-1.

Så den generelle formel forn geometrisk sekvens er

U_n= ar^n-1

Bemærkninger:

U_n = stamme tiln

a = første stavelse

r = forholdet

n = mange stammer

• Geometry Series

hvis U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n er en række geometri derefter U_{1 +} U_{2 +} U_{3 +} U₄ + …… .. U_n er en geometri-serie med U_n = ar^n-1.

Generel formel til bestemmelse af beløb n den første term i den geometriske sekvens kan afledes som følger.

For eksempel S_n notering af beløb n første stavelse.

S_n = U_{1 +} U_{2 +} U₃ + …… .. U_n

S_n = en ₊ ar ₊ ar² + ... .. + ar^n-1...........................................................................(1)

Hvis begge segmenter ganges r, derefter

rS_n = ar ₊ ar² ₊ ar³ + ... .. + arⁿ........................................................................(2)

Fra forskellen i ligninger (1) og (2) kan vi få

Så summen formel n den første term i den geometriske sekvens, som er som følger.

Bemærkninger:

S_n = beløbet n første stavelse

a = første stavelse

r = forholdet

n = mange stammer

• Central Tribe of the Line eller Geometry Series

For eksempel kender du følgende geometri linje: U₁, U₂, U₃, U₄......., U_n (antallet af udtryk er ulige). Linjens midterste sigt er U_t, så er formlen som følger.

Bemærkninger:

U_t= midtvejs geometrisk sekvens

a = første stavelse

U_n= den sidste term geometriske sekvens med nummer n ulige

• Indsæt i geometri række

Hvis der er placeret geometri række k numre på en sådan måde mellem to på hinanden følgende termer, så der dannes nye geometriske linjer. Så ved at finde det nye forhold kan formuleres som følger.

Bemærkninger:

r '= nyt forhold efter indsættelse

r = forhold inden indsættelse

k = indsat nummer

• Ubegrænset geometri-serie

En uendelig geometri-serie er en geometrisk serie, der ikke kan hugges af mange af dens stammer. Overvej følgende eksempel!

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

b. 5 - 10 + 20 - 40 + ...

c. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

d. 9 - 3 + 1 - 1/3 + ...

Serien ovenfor er et eksempel på en uendelig geometri-serie. Overvej eksemplerne a og b. Serien er divergerende serie, dvs. en serie, der ikke går til en bestemt værdi og har et forhold r med | r | > 1.

Dernæst er eksempler c og d konvergent serie, dvs. en serie, der går til en bestemt værdi og har et forhold r med | r | <1.

I konvergerende serier vil antallet af vilkår ikke overstige en bestemt pris, men nærmer sig en bestemt pris. Denne særlige pris kaldes uendeligt antal udtryk som er betegnet med S_∞. S-værdi_∞ repræsenterer tilgangsværdien (grænsen) for hele termen (S_n) med n nærmer sig uendelig. Derfor kan den uendelige serieformel afledes fra den geometriske serie med det første udtryk a, og n → ∞.

Fordi serien konvergerer (| r | <1), for n → ∞, derefter arⁿ→ 0 så det

Så formlen for antallet af uendelige geometriske serier er

Det er forklaringen på aritmetiske og geometriformler sammen med eksempler på spørgsmål og deres diskussion. Forhåbentlig er dette nyttigt!